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    【医院总结】 池锝网 2018-05-19本文已影响

    篇一:高中数学必修一知识点总结

    课时一:集合有关概念1. 集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东 西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

    2. 一般的研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。

    3. 集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。

    例: 世界上最高的山、 中国古代四大美女、 教室里面所有的人…… (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。

    例:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合 例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{…} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。

    1)列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。

    {x?R| x-3 2} ,{x| x-3 2} ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②Venn 图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。4、集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}5、元素与集合的关系:(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R A 课时二、集合间的基本关系1.?包含?关系—子集(1)定义:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有 包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集。记作: A ? B (或 B ? A) 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,; (2)A 与 B 是同一集合。

    ? B 或 B? ?A 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ?2.?相等?关系:A=B(5≥5,且 5≤5,则 5=5)实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B A) 或若集合 A?B,存在 x? B 且 x A,则称集合 A 是集合 B 的真子集。

    ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

    ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集课时三、集合的运算运算类型 定 义 交 集 并 集 由所有属于 A 且属于 B 由所有属于集合 A 或属 的 元 素 所 组 成 的 集 合 , 于集合 B 的元素所组成 叫做 A,B 的交集.记作 的集合,叫做 A,B 的并 A ? B(读作‘A 交 B’), 集.记作: A ? B (读作 即 A ? B= { x|x ? A ,且 ‘A 并 B’),即 A ? B x ? B}. ={x|x ? A,或 x ? B}). 补 集 全集:一般,若一个集合汉语我 们所研究问题中这几道的所有 元素,我们就称这个集合为全 集,记作:U 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个 子集,由 S 中所有不属于 A 的元 素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作 C S A , CSA= {x | x ? S , 且x ? A} 韦恩图示质 A A A A∩ A=A ∩Φ=Φ ∩B=B ? A ∩B ? A A ∩B ? BAUA=A AUΦ=A AUB=BUA AUB ? A AUB ? B(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB) (CuA) U (CuB)= Cu(A∩B) AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ.课时四:函数的有关概念1. 函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使 对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x), x∈A. (1)其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; (2)与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫 做函数的值域. 2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则 3. 函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域 (2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可以 是连续的曲线、 直线、 折线、 离散的点等等。

    (3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义 域的特征。

    4、函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈ A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过 来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均 在C上 . (2) 画法 A、描点法: B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换。

    (3)函数图像变换的特点:1)函数 y=f(x) 关于 X 轴对称 y=-f(x) 2)函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称 y=f(-x) 3)函数 y=f(x) 关于原点对称 y=-f(-x)课时五:函数的解析表达式,及函数定义域的求法 1、函数解析式子的求法 (1) 、 函数的解析式是函数的一种表示方法, 要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)、求函数的解析式的主要方法有: 1)代入法: 2)待定系数法: 3)换元法: 4)拼凑法: 2.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是 使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关); ②定义域一致 (两点必须同时具备) 4、区间的概念: (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示 课时六: 1.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域; (2)反表示法:针对分式的类型,把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的 函数关系式,由 X 的范围类似求 Y 的范围。(3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值 域,注意定义域的范围。

    (4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类 型。课时七 1.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

    (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、 g 的复合函数。 (4)常用的分段函数 1)取整函数: 2)符号函数: 3)含绝对值的函数:2.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那 么就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作?f(对应关系):A (原象) ?B(象)? 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。

    注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。

    所以函数是映射,而映射不一定的函数 课时八函数的单调性(局部性质)及最值 1、增减函数 (1)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任 意两个自变量 x1,x2,当 x1 x2 时,都有 f(x1) f(x2),那么就说 f(x)在 区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. (2) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1 x2 时, 都有 f(x1) >f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单 调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调 不减两种 2、 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区 间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函 数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1 x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○ 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). ○ (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相 关,其规律:?同增异减?注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和 在一起写成其并集.课时九:函数的奇偶性(整体性质) (1)、偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2)、奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那 么 f(x)就叫做奇函数. (3)、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是 ○ 非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断; 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函 ○ 数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函 数. (4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 1)在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数; 奇函数的加减仍为奇函数; 奇数个奇函数的乘除认为奇函数; 偶数个奇函数的乘除为偶函数; 一奇一偶的乘积是奇函数; 2)复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。

    注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的 定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称, (1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .课时十、函数最值及性质的应用 1、函数的最值 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b); 2、函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

    3、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与 0 作比较,作商法是与 1 作比较。

    4、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。

    5、在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用 f(0)=0,但是 f(0)=0 并 不一定可以判断函数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数 f(0)=0)。课时十四 1、 指数与指数幂的运算: 复习初中整数指数幂的运算性质: m n m+n a *a =a m n mn (a ) =a n n n (a*b) =a b 2、根式的概念:一般地,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n 1,且 n ∈ N . 当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数。

    此时,a 的 n 次方根用符号 表示。

    当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数 a 的正的 n 次方根用符号 表示,负的 n 的次方根用符号 表示。正的 n 次方 根与负的 n 次方根可以合并成 (a 0)。

    注意:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 式子 叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数。?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) , a? m n(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 4、 有理数指数米的运算性质 r r ?s r (1) a 〃 a ? a (2) (a ) ? ar s r rs r s(a ? 0, r , s ? R) ;(a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) .(3) (ab) ? a a5、无理数指数幂 a 一般的,无理数指数幂 a (a 0,a 是无理数)是一个确定的实数。有理数指数幂 的运算性质同样使用于无理数指数幂。课时十五:指数函数的性质及其特点(1)1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量, 函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.为什么? 2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像: (1) (2) (3) (4) (5)图像特征 a 1 a 1 向X、Y轴正负方向无限延伸 图像关于原点和 Y 轴不对称 函数图像都在 X 轴的上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看图像逐渐 自左向右看图像逐渐 上升。

    上升。

    图像特征 0 a 1 函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+ a0=1 增函数 减函数 a 1 在第一象限内图像纵 在第一象限内图像纵 坐标都大于 1。

    坐标都大于 1。

    在第二象限内图像纵 在第二象限内图像纵 坐标都小于 1。

    坐标都大于 1。x 0,a 1 x 0,a 1x 0, a 1 x 0,a 1函数值开始增加较慢, 函数值开始减小极快, 图像上升的趋势愈来 图像上升的趋势愈来 到了某一值后增长速 到了某一值后减小速 愈陡。

    愈陡。

    度极快。

    度较慢。课时十六:指数函数的性质及其特点(1) 指数函数的图象和性质 a 1 0 a 16 6 5 5 4 4定义域 R 定义域 R 值域 y>0 值域 y>0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a)] ; (2)若 x ? 0 ,则 f (x) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a 1 时,若 X1 X2 ,则有 f(X1) f(X2)。二、对数函数 (一)对数1.对数的概念:一般地,如果 a x? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 a x ? N ? loga N ? x ; ○ loga N 3 注意对数的书写格式. ○ 两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○ ? 指数式与对数式的互化N ? log a N = b底数 指数(二)对数的运算性质如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M 〃 N ) ? loga M + loga N ; ○ 2 ○log a M ? loga M - loga N ; N3 loga M n ? n loga M ○ 注意:换底公式loga b ? logc b logc a(n ? R) .( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ).利用换底公式推导下面的结论 (1) log a1 n log a b ;(2) loga b ? m logb a(二)对数函数1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量, 函数的定义域是(0,+≤). 注意: ○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? 2 log2 x , y ? log x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○ 2、对数函数的性质: a 1 0 a 1定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点 (1, 0)定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)(三)幂函数1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+≤)都有定义并且图象都过点(1,1); (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地, 当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右 边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图 象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.

    篇二:高中数学必修一知识点总结

    必修 1 数学知识点第一章、集合与函数概念 1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。

    2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。

    3、 常见集合:正整数集合: N 或 N ? ,整数集合: 1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数(Ⅰ) 2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根。Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R .4、集合的表示方法:列举法、描述法. 1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任 意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. ? .并规定: 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子 集. 1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B . 3、全集、补集? CU A ? {x | x ?U , 且x ?U } 1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集 合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应, 那么就 作: y ? f ?x ?, x ? A . 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同, 并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. 1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 1.3.1、单调性与最大(小)值 1、 注意函数单调性证明的一般格式: 解 : 设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 , 则 : 称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记其中 n ? 1, n ? N ? . 2、 当 n 为奇数时, n a n ? a ;n 当 n 为偶数时, a ? a . n3、 我们规定:⑴am ??a ? 0, m, n ? N,m ?1 ;1 ?n ? 0? ; an4、 运算性质: ⑴a a ? a?a ? 0, r, s ? Q?;? a rs ?a ? 0, r , s ? Q? ;⑶ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? . 2.1.2、指数函数及其性质 1、 记住图象: y ? a ?a ? 0, a ? 1? 2.2.1、对数与对数运算 1、 a ? N ? loga N ? x ;f ?x1 ? ? f ?x2 ? =?loga N 3、 loga 1 ? 0 , loga a ? 1 . 4、当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ⑴ loga ?MN ? ? loga M ? loga N ; ⑵ loga ?? 函数 y ? f ?x ?有零点.2、 性质:如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象 是连续不断的一条曲线,并且有 f ?a ? ? f ?b? ? 0 , 那么,函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b ? 内有零点,即 存在 c ? ?a, b ? ,使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方 程 f ?x ? ? 0 的根. 3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. 3.2.1、几类不同增长的函数模型 3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函 数拟合,最后检验.?M ? ? ? loga M ? loga N ; ?N?⑶ loga M ? n loga M . 5、换底公式: loga b ?logc b logc a?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .6、 loga b ?1 logb a?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? . 2..2.2、对数函数及其性质 1、 记住图象: y ? loga x?a ? 0, a ? 1?必修 2 数学知识点1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。 2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影 的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影,平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l第三章、函数的应用 3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f ?x ? ? 0 有实根 ⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l? 函数 y ? f ?x ?的图象与 x 轴有交点 ⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。第三章:直线与方程 ⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l ⑷体积公式: 1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? by 2 ? y1 x2 ? x11 V柱体 ? S ? h ; V锥体 ? S ? h ; 3 1 V台体 ? S 上 ? S 上 ? S 下 ? S 下 h 3⑸球的表面积和体积:4 ? 4?R ,V球 ? ?R 3 . 3⑶两点式:y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1第二章:点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。⑷一般式: Ax ? By ? C ? 0 3、对于直线:2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

    3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有:⑴ l1 // l 2 ? ?4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b26、线线位置关系:平行、相交、异面。

    7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?8、面面位置关系:平行、相交。

    9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2⑷ l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 . 4、对于直线:⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0⑴ l1 // l 2 ? ?10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C 2 ? B2 C111、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C2 ? B2 C1⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。

    12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。⑷ l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 5、两点间距离公式:P1 P2 ??x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 6、点到直线距离公式:Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2第四章:圆与方程 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 2、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 3、空间中两点间距离公式:? WEnd ⑹算法案例:辗转相除法—同余思想 第二章:统计 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意: 在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本, 每个个体被抽到的机会(概率)均为n 。

    NP1 P2 ??x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2必修 3 数学知识点第一章:算法 1、算法三种语言: 自然语言、流程图、程序语言; 2、算法的三种基本结构: 顺序结构、选择结构、循环结构 3、流程图中的图框: 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规 范表示方法; 4、循环结构中常见的两种结构: 当型循环结构、直到型循环结构 5、基本算法语句: ①赋值语句: “=” (有时也用“←” ) ②输入输出语句: “INPUT” “PRINT” ③条件语句: If ? Then ? Else ? End If ④循环语句: “Do”语句 Do ? Until ? End “While”语句 While ?2、总体分布的估计: ⑴一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。

    ⑵茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据 的分布,以及中位数、众位数等。

    ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大 书写,相同的药重复写。

    3、总体特征数的估计: x ? x ? x ? ?? xn ⑴平均数: x ? 1 2 3 ; n 取值为 x1 , x 2 , ? , x n 的频率分别为 p1 , p 2 , ? , p n ,则其 平均数为 x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。

    ⑵方差与标准差:一组样本数据 x1 , x 2 , ? , x n1 方差: s ? n? x) ;标准差: s ?注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。

    平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的 稳定水平。

    ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法) n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ?b ? n 2 ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx必修 4 数学知识点第一章、三角函数 1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:注意:线性回归直线经过定点 ( x, y) 。

    第三章:概率 1、随机事件及其概率: ⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母 表示; ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点; ⑶随机事件 A 的概率: P( A) ?m ,0 ? P( A) ? 1 ; n?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?. 1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角. 2、 ? ?l . r3、弧长公式: l ?n?R ? ? R. 1802、古典概型: ⑴基本事件: 一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵古典概型的特点: ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件都是等可能发生。

    ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事 件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则 事件 A 发生的概率 P( A) ?m 。

    nn?R 2 1 ? lR . 4、扇形面积公式: S ? 360 2 1.2.1、任意角的三角函数 1 、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P?x, y ?,那么:sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ? y . x3、几何概型: ⑴几何概型的特点: ①所有的基本事件是无限个; ②每个基本事件都是等可能发生。

    ⑵几何概型概率计算公式: P( A) ?d的测度 ; D的测度2、 设点 A?x0 , y0 ? 为角 ? 终边上任意一点, 那么: (设2 2 r ? x0 ? y0 )sin ??y0 x y , cos? ? 0 , tan? ? 0 . r r x0其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、 体积等。

    4、互斥事件: ⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件; ⑵如果事件 A1 , A2 , ? , An 任意两个都是互斥事件, 则称 事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥。

    ⑶如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率, 等于事件 A,B 发生的概率的和, 即: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ⑷如果事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥,则有:P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )3、 sin ? ,cos? , tan ? 在四个象限的符号和三角 函数线的画法. 4、 诱导公式一:sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270°的三角函数值.cos? tan ?sin ?⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称 这两个事件为对立事件。

    ①事件 A 的对立事件记作 AP( A) ? P( A) ? 1, P( A) ? 1 ? P( A) 1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事 件。 2、 商数关系: tan ? ?sin ? . cos ?T 叫做这个函数的周期. 1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二:sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .2、诱导公式三:sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .3、诱导公式四: 1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .4、诱导公式五:?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?5、诱导公式六:2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、 值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象 1、 能 够 讲 出 函 数 y ? sin x 的 图 象 和 函 数?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? 1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象: 2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质: 定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图. 1.4.2、正弦、余弦函数的性质 1、 周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非 零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f ?x ? T ? ? f ?x ? , 那么函数 f ?x ? 就叫做周期函 数 , 非 零 常 数y ? As i ? n ?x ? ? ? ? b 的图象之间的平移伸缩变换关系. 2、 对于函数:y ? A sin??x ? ? ? ? b? A ? 0, ? ? 0? 有:振幅 A,周期 T ?1 f ?T ?, 初 相 ? , 相 位 ?x ? ? , 频 率 1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第二章、平面向量 2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三 个要素:起点、方向、长度. 2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称 模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫做零向量;长 度等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共 线向量).规定:零向量与任意向量平行. 2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形法则和平行四边形法则. 2、 a ? b ≤ a ? b . 2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运 算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向 规定如下: ⑴⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?. 2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则? ⑵△ABC 的重心坐标为 ?⑴线段 AB 中点坐标为 1、 a ? b ? a b cos? .x1 ? x2 2y2 , , y1 ? 2x1 ? x2 ? x3 3, y1 ? y32 ? y3 . 2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 3、 a ? a .?a ? ? a ,⑵当 ? ? 0 时 ,? a 的方向与 a 的方向相同;当4、 a ?? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反.2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当 且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两 个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . 2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, ⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? ,5、 a ? b ? a ? b ? 0 . 2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑵a ?x12 ? y12⑶ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 . 2.5.1、平面几何中的向量方法 2.5.2、向量在物理中的应用举例 第三章、三角恒等变换 3.1.1、两角差的余弦公式 1、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 2、记住 15°的三角函数值:sin ?6? 2 46? 2 4tan ? 3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 2、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 3、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 4、 tan?? ? ? ? ?tan? ? tan ? 1?tan? tan ? tan? ?tan ?3、三角形面积公式:S ?ABC ?1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2第二章:数列 1、数列中 an 与 S n 之间的关系:,当n ? 1时, ? S1 an ? ? ?S n ? S n ?1 ,当n ? 1时.2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 差数列。

    ⑵通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ⑶求和公式:5、 tan?? ? ? ? ? 1?tan? tan ? . 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos? ? 1 . 2 sin 2? 2、 cos 2? ? cos ? ? sin ?? 2 cos ? ? 1S n ? na1 ??a ? a n ?n n?n ? 1? d? 1 2 2? 1 ? 2 sin 2 ? ,变形 1: cos2 ? ? 1 ? cos 2? ,2 变形 2: sin 2 ? ? 1 ? cos 2? . 23、 tan 2?3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 比数列。

    ⑵通项公式: an ? a1q n?1 ⑶求和公式: S n ? 第三章:不等式 1、? 2 tan? . 1 ? tan2 ?a1 ? a n q a1 1 ? q n ? 1? q 1? q 3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次.当a, b ? 0时,a ? b ? 2 ab必修 5 数学知识点第一章:解三角形 1、正弦定理:?当且仅当a ? b时取等号?当a, b ? R时,a 2 ? b 2 ? 2aba b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C2、余弦定理:?当且仅当a ? b时取等号?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC.b2 ? c2 ? a2 , 2bc a2 ? c2 ? b2 cos B ? , 2ac a2 ? b2 ? c2 cosC ? . 2ab cos A ?a2 ? b2 ?a?b? 3、变形: ab ? ? ? , ab ? 2 ? 2 ?

    篇三:高中数学必修一知识点总结

    高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。

    ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的方法。

    {x?R| x-3 2} ,{x| x-3 2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。? B 或 B? ?A 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? 2. ?相等?关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

    n n n ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 -1 个真子集,2 -2 个非空真子集 三、集合的运算 运算 交 集 并 集 补 集 类型 定 义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集. 记作 A ? B (读 作‘ A 交 B ’ ) ,即 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’ ) ,即 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集) 记作 C S A ,即A ? B={x|x ? A,且 A ? B ={x|x ? A ,或第 1 页 共 7 页 x ? B} . 韦 恩 图 示 性x ? B}).CSA= {x | x ? S , 且x ? A} SA ? A=A A ? Φ=Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?BA ? A=A A ? Φ=A A ? B=B ? A A ? B ?A A ? B ?B(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ.二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于 集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫 做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。

    求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使 各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ; ②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数 值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一 点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实 数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换第 2 页 共 7 页 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么 就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作?f(对应关系) :A(原 象) ?B(象) ? 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。

    6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

    (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合 函数。

    二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 x1, x2, 当 x1 x2 时, 都有 f(x1) f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数. 区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1 x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数 的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 任取 x1,x2∈D,且 x1 x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的单调性密切相关, 其规律: ?同增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和 在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x) 就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=—f(x), 那么 f(x)第 3 页 共 7 页 就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函 ○ 数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的 定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据 定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或 借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 2 ○ 3 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b); 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n 1,且 n ∈ N *.负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)? m n(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a 〃 a ? ar r ?s(a ? 0, r , s ? R) ;第 4 页 共 7 页 (2) (a ) ? ar s r(a ? 0, r , s ? R) ;(3) (ab) ? a a(a ? 0, r , s ? R) .(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a 1 0 a 16 6 5 5定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)(1)在[a,b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N的对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○ 3 ○ 1 ○ 2 ○ ?a x ? N ? loga N ? x ;注意对数的书写格式.loga N两个重要对数: 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . 指数式与对数式的互化 幂值 真数ab = N ? log a N = b第 5 页 共 7 页 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M 〃 N ) ? loga M + loga N ; ○M ? loga M - loga N ; N 3 loga M n ? n loga M (n ? R) . ○2 log a ○ 注意:换底式loga b ?logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . logc a1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是 自变量,函数的定义域是(0,+≤) . 注意: ○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:y ? 2 log2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 0 a 13 2.5 2 1.52、对数函数的性质: a 13 2.5 2 1.5定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0) (三)幂函数定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)1、 幂函数定义: 一般地, 形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数, 其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+≤)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且在区间 [0,??) 上是增函数. 特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从 右边趋向原点时,图象在 y 轴右方限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图 象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫 做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。第 6 页 共 7 页 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。

    即 :方 程 f ( x) ? 0 有 实数 根 ? 函数 y ? f ( x) 的 图象 与 x 轴 有交 点 ? 函 数 y ? f ( x) 有零点.3、函数零点的求法: 1 ○ 2 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两 个交点,二次函数有两个零点.(2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一 个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二 次函数无零点.第 7 页 共 7 页

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